Peruban, a csak nagyon magasról kivehető figurák (Nazca vonalak) között van egy mértani alakzat, neve Estrella csillag (angolul Estrella Star) vagy Estrella négyzetrács és gyűrű, de esetleg azt is mondhatjuk, hogy egy mandala.

A figura matematikailag is bizonyítja alkotóinak komoly intelligenciáját.

Megtalálható a déli szélesség 14°38´38.90” és nyugati hosszúság 75°10´16.20”-nál. (Google Earth)

Kb. 500 méter magasból jól kivehető a fő alakzat. Elnézést kérek a rossz minőségű fényképfelvételért!

A kik? mikor? miért? hogyan? kérdések körüli spekulálgatásaim megtartom magamnak, s a gondolatfonalat átadom a kedves olvasónak.

Jöjjenek a matematikai tények, amennyire lehet, leegyszerűsítve: 2 db nagy négyzet egymásba fordítva 45fokos elfordulással. A nagy, zöld, egyenesen fekvő, négyzet négy sarkában három-három kisebb, (12 db) egyenlő nagyságú négyzet található. Középen ugyanakkora négyzetek, 8 db.

Így az üres, középső részben még 4 db kis négyzet férhetne el. A kis négyzetek oldalai és átlói barnával bejelölve, melyen a másik nagy, piros, elfordított négyzet oldalai szelnek át.

E két egymásba fordított nagy négyzetek nem egyforma nagyságúak! Ha a kis négyzetek oldalait egységnyi hosszúságúnak tekintjük (oldal =1, kerület=4, terület=1) akkor a nagy, zöld, egyenesen fekvő négyzet oldalai 8 egységnyi hosszúak. Kerülete 32 egység. Területe 64 db kis négyzet, mondjuk így: kisnégyzet.

Ugyanis a könnyebb megértéshez, a kisnégyzeteket követve egy hálót, négyzetrácsot lehet elképzelni a háttérben. A háló szemmérete (angolul mesh size, svédül maskstorlek) 1 x 1 egységnyi hosszúságúak.

Itt megjegyzendő: értelmetlen bármely hosszúsági mértékegységben gondolkodnunk!

A másik, a legnagyobb, piros négyzet területe pontosan 72 db kisnégyzet. Ugyanis Püthagorasz tételével kiszámolva a kisnégyzetek barna átlói 1,4142135623731 lesznek. Egy oldal hat kis átlóból áll. Ez látszik az elképzelt hálón is.

6 x 1,4142135623731 = 8,48528137423857. Vagyis a terület 8,48528137423857², ami nem más, mint 72.

Tehát az oldalhosszúságról, s így a kerületről sem lehet egész számokat kihozni. 8,48528137423857 x 4 = 33,9411254969543.

De továbbmenve; a kisebb, zöld négyzet oldala (8) osztva a nagyobb, piros négyzet oldalával (8,48528137423857) egy állandó számot ad; 0,942809041582063. Természetesen ugyanez az arány a kerületnél is. Viszont a területnél már egy másik állandó szám lesz 0,8888888888889, ami nem más, mint 64/72, vagy egyszerűsítve 8/9. Majd e szám gyöke lesz csak a 0,942809041582063. (√8/9)

Ez a szám (0,942809041582063) egyébként nagyon érdekes, ugyanis sok helyen előfordul, pl. a valószínűségszámításon belül a „kumulatív szórás”, vagy „valószínűség-eloszlás”-nál, ma a számítógépek programozásánál. (Pl. Turbo Pascal, kérésre mutathatok példát.)

Tovább: a 64 kisnégyzet területű, zöld négyzetben a helyszínen 64 db jelöléssel egy kör van rajzolva.

A 64 db jelölés így egyáltalán nem lehet véletlen!

E kör érinti a zöld négyzet oldalait, ezért a sugara 4 egységnyi. E kört nevezzük itt delta-nak (δ).

A 64 és 72 kisnégyzet területű nagy négyzetek csúcsai köré is lehet köröket rajzolni. Sugarai 5,65685424949238

(4 x 1,4142135623731) és 6 egységnyiek. Nevezzük itt epszilon-nak (ε) és dzéta-nak (ζ).

Ezenfelül elképzelhetőek még az 1, 2 és 3 egységnyi sugarú körök. Nevezzük itt alfa-nak (α), bétának (β) és gammának (γ).

Mivel az egységre (1) visszavezethető sugarak többszörösei lesznek egymásnak; (1, 2 3, 4 és 6) a kerületek és területek különféle többszörösei lesznek a pí alapszámnak.

Néhány példában; a legnagyobb dzéta (ζ) kör területe pont 36-szor akkora, mint a legkisebb alfa (α) köré. Viszont már csak kilencszerese a béta (β) körnek mert az négyszerese a pí alapszámnak (9*4 =36).

A legnagyobb dzéta (ζ) kör területe négyszerese a gamma (γ) körnek, mert az kilencszerese a pí alapszámnak (4*9=36).

Sőt, a nem is egységnyi sugarú epszilon (ε) körnek is a területe, pont 32-szerese lesz a pí-nek!

A 3 egységnyi sugarú gamma (γ) kör csak 8 db jelöléssel van feltüntetve a helyszínen. De a legfontosabb, hogy rögtön a gamma (γ) körön kívül egy gondosan kimért másik kör is van, aminek a sugara pontosan a pí értékének megfelelő (~3,14). Nevezzük itt pí sugárkör-nek (π). Ez a kör is tudatosan 64 db jelöléssel van rajzolva.

Ez érdekes szituációt teremt, ugyanis a kerület itt így 2pí*pí lesz, vagyis 19,7392088021787.

A terület meg pí³, vagyis 31,0062766802998. Igaz e száraz számok így sokat nem mondanak, de a pí-re való tekintettel ez sem lehet véletlen. Az logikátlan lenne.

Most példának nézzük még a két legnagyobb körnek; az epszilon-nak (ε) és dzéta-nak (ζ) az egymáshoz való viszonyát.

Az epszilon (ε) osztva dzéta-val (ζ) – talán már kitalálták – sugárban, kerületben és területben pontosan ugyanazokat a számokat adja, mint a fent összehasonlított nagy négyzetek. A számok magukért beszélnek.

5,65685424949238/6 = 0,942809041582063, 35,5430635052669/37,699111843075 = 0,942809041582063, valamint 100,530964914873/113,097335529233 = 0,8888888888889

De tovább; Most először újra elosszuk az epszilon kör (ε) sugarát (5,65685424949238), kerületét és területét a legnagyobb, dzéta kör (ζ) sugarával (6) kerületével és területével. Ezután elosszuk a kisebb, delta kör (δ) sugarát (4), kerületét és területét az epszilon kör (ε) sugarával (5,65685424949238) kerületével és területével.

E számpárosok szorzata a sugárnál és kerületnél 2/3, a területnél 4/9 törteket adja, ami fele a fenti 8/9-nek! Ezek is állandó számok! A figura alkotói tudtak számolni!

Továbbra is egységnyi hosszúságnál (kisnégyzet oldala = 1) a pí sugárkör (π) osztva a legnagyobb dzéta (ζ) körrel, sugárnál és kerületnél természetesen a pí hatodrészét adja 0,523598775598299 = pí/6.

Területnél ez a szám a sugár (vagyis itt a pí) hatodrészének a négyzete lesz 0,274155677808038 = (pí/6)².

Folytatva; egységnyi hosszúságnál, most harmadszorra is elosztjuk az epszilon kör (ε) sugarát (5,65685424949238), kerületét és területét a legnagyobb, dzéta kör (ζ) sugarával (6) kerületével és területével. Utána elosztjuk a pí sugárkör (π) sugarát, kerületét és területét az epszilon kör (ε) sugarával, kerületével és területével. E számpárosok szorzata ugyanezt a fenti eredményt adja, vagyis pí/6 valamint (pí/6)².

De most visszakanyarodva; a legnagyobb, piros négyzet kerülete osztva a legnagyobb, dzéta kör (ζ) kerületével, valamint a kisebb, zöld négyzet kerülete osztva az epszilon kör (ε) kerületével is egy érdekes állandó számot ad: 0,900316316157106 (egységnyi hosszúságnál 33,9411254969543/37,699111843075 & 32/35,5430635052669).

Ez a szám is gyakori a számítástechnikában, pontosabban a rakétavezérlés programozásánál.

(erre is mutathatok példát)

Ehhez a számhoz egy másik úton is eljuthatunk, ha a kisnégyzet oldalai egységnyiek (1). Először újra elosszuk a kisebb, delta kör (δ) sugarát (4) és kerületét az epszilon kör (ε) sugarával (5,65685424949238) és kerületével. Utána a pí sugárkör (π) sugarát és kerületét is elosztjuk a delta kör (δ) sugarával és kerületével. Majd e két eredmény hányadosa lesz a 0,900316316157106! Hát nem csodálatos?!

A fenti területnél viszont már egy másik érdekes számot kapunk; a pí négyszeresének reciprokja szorozva nyolccal, vagyis 1/(4*pí)*8, ami 0,636619772367581. E számot is pld. a trigonometriában már régóta használják. Ugyanis a radián (180/pí) osztva e számmal pont a derékszöget adja. (57,2957795130823/0,636619772367581=90)

Na, egy ráadás! Már kiszámoltuk; a delta (δ) kör sugara és kerülete osztva az epszilon (ε) kör sugarával és kerületével a 0,707106781186548 számot adja, ami nem más, mint a kettes szám gyökének a fele (√2/2).

A delta (δ) kör területe viszont egyszerűen csak a fele az epszilon (ε) kör területének.

Kedves olvasó, még sok matematikai összefüggés lenne kimutatható, de már így is bátran kijelenthetjük: ez a mértani szerkezet – esetleg mandala – magas szintű értelemről tanúskodik. Hogy melyik kultúra volt ez, nem tudni, de az inka textileken a szövés- hímzésminták ma is nagyon kimért alakzatok. (inka stock vectors)

Írta: Szemler János