A Dávid-csillag csodálatos, örök matematikájáról szóló írásom után ezúttal a szabályos ötágú csillagról fogok szólni. Arról, hogy az ötágú csillag (pentagram) a tökéletes harmónia, az öt őselem, a mágusok, a sátánisták, a kommunisták, a filmsztárok, az amerikai nemzet, az EU stb. szimbóluma, sok helyen lehet olvasni. Itt most a bámulatos matematikai tartalommal igyekszem foglalkozni, de csak alacsony, szinte már hétköznapi szinten!

Az egyik, könnyen látható tény e csillagban, hogy több helyen tartalmazza az ún. aranymetszés (svédül gyllene snitt, angolul golden ratio) alapszámát (1,61803398874989), mely egy irracionális szám és a görög Φ (fí) betűvel szokás jelölni.
Képlete, vagyis, ha ki akarjuk számolni: Φ= (1+√5)/2. Ez a szám egyébként párosul az úgynevezett Fibonacci-számokkal, amely tulajdonképpen nem más, mint egy számsorozat. A többit az interneten is elolvashatjuk.
Vizsgáljuk meg közelebbről az ötágú csillagot! Hol is rejtőzik például ez a Φ? Elmondható: e csillag nemcsak ötágú, de ötátlójú is (oldalú, szárú?). Ha egy átlót (a képen A) a kereszteződéseknél felosztunk három szakaszra (kettő B és egy C) akkor B/C=Φ, (B+C)/B=Φ és A/(B+C)=Φ lesz. Mondhatjuk pl., hogy B+C=D. Így A/D= Φ

Ha körbe, egyenes vonalakkal összekötjük a csillag öt csúcsát, egy szabályos ötszöget kapunk. Igazi pentagon, de itt most nem az amerikai minisztériumra gondolok, hanem az ötágú csillag köré rajzolható pentagon oldalainak (szintén D) az átlókhoz való viszonyára. Ez a viszony: (D/A)²= 0, 381966011250105. Nevezzük itt Sᵩ-nek (ejtsd Sfí).

Ezen felül az egymást metsző átlók szeleteinek a viszonya fontos még!

Nézzük csak! Először is: a csillag átlója (A) szorozva a Φ fordított értékével, mindig az ötszög oldalát adja: D=A*1/Φ. Másodszor: az A szorozva a Φ négyzetének fordított értékével a csillag egyik ágának egyik lábát adja: B=A*1/Φ². Harmadszor: az A szorozva a Φ köbének fordított értékével – hogy is mondjam – a csillag ág közötti részét, szeletet adja: C=A*1/Φ³. Negyedszer: a B és C összege mindig az ötszög oldala, D lesz. (B+C=D)

Könnyen felismerhető: az ábrán látható görög betűk (α, β, γ, δ, ε) között is egy szabályos ötszög van. (pentagon)

A gamma (γ) és az epszilon (ε) közötti szakasz pontosan megegyezik a B szakasszal. Na, most itt egy, szinte már boszorkányos dolog következik. Ha ezt a távolságot egy újabb, kisebb csillag átlójának tekintjük, akkor ide egy újabb csillagot lehet rajzolni, kissé elfordítva (36°). Majd ebbe még egy kisebbet, amibe még egy kisebbet és így tovább a végtelenségig! Az ábrán jól látható a C betűvel jelölt hosszúság újabb szerepe.

Továbbá: az ötágú csillag szögeinek összege 180°, pont úgy, mint a háromszögé, mivel minden egyes csúcs 36° (5 x 36 = 180). Most rajzoljunk egy kört a csillag csúcsai köré! E kör sugara a csúcsokat érintve felezheti a csúcsot. Így 2 db 18°-os szöget kaphatunk. Ebből aztán könnyen megállapítható: mindenütt az egész csillagalakzatban csak a 18 fokos szög többszörösei léteznek. 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162 és 180. Ebből következően: 18/36=1/2, 36/54=2/3, 54/72=3/4, 72/90=4/5, 90/108=5/6, 108/126=6/7, 126/144=7/8, 144/162=8/9 és végül 162/180=9/10. A számlálok sorozata: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lesz, a nevezőké meg 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 és 10. Micsoda számjáték, ámulatba ejtő!

Most rajzoljunk egy másik, kisebb kört a kisebbik pentagonba!

Ha elosztjuk e kisebb kör sugarát a nagyobb kör sugarával, a kisebb kör kerületét a nagyobb kör kerületével, a kisebb ötszög kerületét a nagyobb ötszög kerületével, valamint a kisebb csillag kerületét a nagyobb csillag kerületével, mind a négy esetben egy állandó számot kapunk: 0, 381966011250105, mely ugyanaz a szám, mint a fenti Sᵩ.

Ha elosztjuk a kisebb kör területét a nagyobb kör területével, a kisebb ötszög területét a nagyobb ötszög területével, valamint a kisebb csillag területét a nagyobb csillag területével, egy másik állandó számot kapunk: 0, 145898033750315. Nevezzük itt Vᵩ-nek (Vfí).

Utána, ha e két számot elosztjuk egymással (Vᵩ/Sᵩ), szintén Sᵩ kapunk! Vagyis Vᵩ=Sᵩ². Elbűvölő!

Ha az ötágú csillag átlója egységnyi hosszúságú (A=1), akkor a B=Sᵩ.

Az aranymetszés alapszáma, Φ (fí) négyzetének fordított értéke (1/Φ²) maga az Sᵩ.

A negyedik hatvány fordított értéke (1/Φ^4) pedig a másik állandó szám Vᵩ.

Ha elosztjuk az ötágú csillag területét a nagyobb ötszög területével és ezt a számot felezzük, akkor a Φ harmadik hatványának fordított értéke (1/Φ³) lesz a harmadik állandó szám 0, 23606797749979! Nevezzük itt Tᵩ-nek (Tfí).

Ha a csillag átlója egységnyi hosszúságú (A=1) akkor a C=Tᵩ. Ha a csillag átlója egységnyi hosszúságú (A=1) akkor a kisebb ötszögbe rajzolható csillag kisebbé vált, úgymond „kis B” távolsága a második állandó szám lesz, vagyis Vᵩ.

A Tᵩ és az Sᵩ második és harmadik hatványa (Tᵩ², Sᵩ³) egy újabb állandó számot ad 0, 055728090000841. Nevezzük itt Zᵩ-nek. (Zfí). Fordított értékkel írva 1/Φ^6. (a Φ hatodik hatványának fordított értéke)

Mindez szinte már hihetetlen, de itt elmondhatom: e négy, fura szám nagyon is sok helyen előfordul a világban! Például a számítástechnikában a programozásnál gyakori a Tᵩ állandó szám használata. Vagy például az úgynevezett „biológiai sokféleség” kiszámolására tett kísérleteknél az Sᵩ és a Vᵩ állandó számok nagyon népszerűek. Sőt, néha már a homeopátiában szolgáló, igazán egyedi műszerek, készülékek is e számok alapján vannak méretezve, gyártva. (nézd a DE 20 2006 001 589 U1 számú német szabadalmat 2006.06.29-ből).

Végül, de nem utolsósorban a különböző, pénzre menő fogadási módozatok gyakorlói esélyeinek növelésére, vagy az amerikai foci (rugby, rögbi) csapatainak edzői, stratégái pontszerző esélyének eldöntésekor szívesen számolnak például az Sᵩ állandó számmal.

Befejezésül újra a négy szám: Sᵩ=0, 381966011250105, Tᵩ=0, 23606797749979, Vᵩ=0, 145898033750315, valamint Zᵩ=0, 055728090000841. Másképp írva: a Φ negatív hatványai második, harmadik, negyedik és hatodik fokon, vagyis Φ^-2, Φ^-3, Φ^-4, és Φ^-6.

Kedves olvasó, elgondolkodtató, hogy vajon milyen rejtett, matematikai összefüggések, titkok vannak még az ötágú csillagban?!